خامساً

معامل إرتباط بيرسون

  لقد درست في البند السابق أنواع الإرتباط بين متغيرين، وبينّا كيفية تعرّف نوع الارتباط بين متغيرين من خلال شكل الانتشار. ستتعرف في هذا البند أحد مقاييس قوة الارتباط الخطي بين متغيرين، وهذا المقياس هو معامل ارتباط بيرسون.

تعريف

  إذا كانت: (س1، ص1)، (س2، ص2)، (س3، ص3)،...، (س ن، ص ن) مجموعة ن من الأزواج المرتبة فيعرف معامل ارتباط بيرسون (وسنرمز له بالرمز ر) كما يلي:

 

   هناك صورة أخرى لمعامل الارتباط (تمرين 7) ولكنك ستستخدم هذه الصورة، لأنها أسهل في حساب معامل الارتباط.

 من الممكن إثبات أن ر  [ -1، 1]

يي

مثال (1)

ييهه

ءءءء ءءءء

يي

يي

    احسب معامل ارتباط بيرسون للبيانات التالية:

س

-2

-1

0

1

2

ص

4

6

5

10

15

 

 

الحل :

 

   إن معامل ارتباط بيرسون، كما سبق وذُكر، هو مقياس لقوة الارتباط الخطي بين المتغيرين قيد الدراسة، وعليه فيمكن تقدير قيمة معامل الارتباط من شكل الانتشار. بين الشكل (8-7) مجموعة من أشكال الانتشار وقيم ر المقابلة.

الشكل (8-7)

   عند تقدير معامل الارتباط من شكل الانتشار يجب ملاحظة ما يلي:

1- إشارة معامل الارتباط

 إذا كان هناك ارتباط إيجابي بين س وص يكون ر > صفر (انظر إلى الشكل (8-7) (أ)، (ب)، (جـ)) وإذا كان هناك ارتباط سلبي فإن ر < صفر (انظر إلى الشكل (8-7) (د)، (هـ)، (و)).

2- قيمة معامل الارتباط

تزداد القيمة المطلقة لمعامل الإرتباط كلما اقتربت النقاط من الخط المستقيم. فمثلاً تكون  إذا وقعت جميع النقاط على خط مستقيم (انظر إلى الشكل (8-7) (أ)، (د))، وتقل قيمته كلما ابتعدت النقاط من الخط المستقيم.

تعطي النظرية التالية أثر التحويلات الخطية في معامل الارتباط.

نظرية

 

إذا كان ر معامل الارتباط بين س و ص. وكان:

س* = أ س +ب، ص* = جـ ص+د، حيث أ، ب، جـ، د  ح، أ ، جـ  صفراً فإن

معامل الارتباط بين س * وص * يساوي:

1) ر إذا كان أ جـ > صفر.

2) – ر إذا كان أ جـ < صفر.

يي

مثال (2)

ييهه

ءءءء ءءءء

يي

يي

   إذا كان معامل الارتباط بين س وص يساوي 0.7، وكان س* = 2س -7، ص* =4ص+9

     جد معامل الارتباط بين س* وص*.

الحل : حيث أن معامل س ومعامل ص موجبة، فإن معامل الارتباط بين س* وص* يساوي 0.7

يي

مثال (3)

ييهه

ءءءء ءءءء

يي

يي

   إذا كان معامل الارتباط بين س وص يساوي -3، وكان س* = -3س، ص* =2ص +1 جد معامل الارتباط بين س* و ص*.

الحل : حيث أن لمعاملات س و ص في التحويل الخطي إشارات مختلفة، فإن معامل الارتباط بين س* وص* = - ر= 0.3

تمرينات ومسائل 

ا
لل

1) جد معامل ارتباط بيرسون للبيانات التالية:
أ )

س

1

2

3

4

5

ص

1

-1

-4

-6

-5

 
ب)

س

50

55

60

65

 70  75  85

ص

40

50

50

70

 60  70  85
2)  قدر قيمة معامل الارتباط في أشكال الإنتشار التالية:
3)

3) إذا كان معامل الارتباط بين س و ص يساوي -0.85، جد معامل الارتباط بين س* و ص* إذا كان:

أ  ) س* = 2س – 3    ، ص* = -2ص -3

ب ) س* = 3+5س     ، ص* = -3 -5ص

جـ) س* = س + 7    ، ص * = 2ص + 11

د  ) س* = - س + 8   ، ص * = 2ص + 11

4)

أثبت النظرية الواردة في هذا البند.

 5)

إذا كان س هو عدد الإجابات الصحيحة، وص عدد الإجابات الخاطئة في امتحان اختيار من متعدد مكون من 10 مسائل، جد معامل الإرتباط بين س وص.

6)

أثبت أن:

        
7)  أثبت أن التعريف التالي لمعامل الارتباط هو تعريف مكافئ للتعريف السابق:
           

لل